从初中开始就学习函数,但似乎总是有一种说不清道不明的感觉.

最早接触的是正比例函数,反比例函数,一次函数,二次函数,这四类具体的函数中,二次函数常常成为我们解题中的拦路虎,使我们承受了不应有的打击,知道了人生的挫折.例如求二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)最值,常规的办法是配方,当x=-b/(2a)时函数y取到最值,当a>0时为最大值;a<0时为最小值.而且最值的数据我们也知道,是(4ac-b^2)/(4a).但通常情况下考试题中不会直接问你自然条件下的最值,而是给定了区间来求最值,此时就必须考虑区间与对称轴的位置关系,千万不能不分青红皂白地直接将区间的端点值代入,这是命题者设置陷井的常用手段!再要是想考查能力的话,常常会给定对称轴在动区间上求最值,或者是给定区间当对称轴变化时求最值,这两类问题经常会涉及分类讨论思想,是考试中大题常见的形式.

例如:求y=3x^2+x-3在区间[m,n]上的最值.

(资料图片)

分析与解答:

这个二次函数的对称轴为x=-1/6,欲求区间[m,n]上的最值,需要分四种情形来讨论:①-1/6<m;②m≤-1/6≤(m+n)/2;③(m+n)/2<-1/6≤n;④n<-1/6.

详细解答过程读者自行完成.

再如:求y=2x^2+ax+3区间[0,3]上的最值.

分析与解答:

这里对称轴为x=-a/4,欲求其在区间[0,3]上的最值,需分四种情形来讨论:①-a/4≤0;②0<-a/4≤3/2;③3/2<-a/4≤3;④3<-a/4.

详细解答过程也请读者自行完成.

上述题型我们在初中已经接触过,属难度较大的问题.即使在高中,依然是各类考试中屡见不鲜的题型,需要下功夫去掌握,这类问题也是考察函数与方程思想的重要题型.

现在对于二次函数的考查往往更加隐蔽,更加委婉,如:

若实数x,y满足x^2+4y^2=4x,则x^2+y^2的取值范围是＿＿

通过分析题意,由已知条件变形为y^2=x-(x^2)/4,代入则x^2+y^2=(3/4)x^2+x=(3/4)(x+2/3)^2-1/3,问题变成了求二次函数的值域,但有了矛盾,因为经过配方的式子最小值为-1/3,而注意到前面是两个平方项的和,是非负的,可见这里的变量x可能有所限制,这个限制条件在哪里呢?回头再看条件,发现4x-x^2=4y^2≥0,即0≤x≤4,这是最容易被忽视的隐含条件,这样问题转化为给定区间上求二次函数的值域,又二次函数对称轴在区间左侧,抛物线开口向上,函数递增,于是值域就是两个端点对应的函数值,即[0,16].

当我们进入高中,学习了集合理论之后,我们又运用集合与映射的观点重新定义了函数的概念,函数是非空数集上的映射,而映射是一对一,多对一的对应,于是在康托尔集合论的基础上来理解函数,又别有一片天地.

之前的函数概念:在某一运动变化过程中有两个变量x,y,当x在某一给定范围内任意取值时,在某一对应法则f的作用下,y都有唯一确定的值与它对应,那么y就叫做x的函数,其中x叫自变量,x的取值范围构成的集合就是定义域,y的对应值的集合就是值域.这个定义来源于物理学上的运动过程,如s=vt等,这种运动变化观点下的函数定义称为传统定义,而现在建立在集合与映射观点之上的函数定义称之为近代定义.

面对这样的函数定义,我很快就想到了人生的话题.人其实就是一个自变量,要尽可能地为自己扩大取值范围,然后才有可能在追求理想和成功的对应法则之下,去获得生命价值的最大值,因为自变量的特点就是主动性,自觉性,人在生命成长的过程中,就应该积极主动地去迎接现实的风雨,为自己闯出一片自由而多彩的天空!当然,我们每个人的生命都是有限的,我们的活动范围当然也是有限的,我们的定义域要尽量自己去扩展.我们应该相信自己,付出总有回报,要做就做最好!凡事只有想不到,没有做不到!

Anything is possible.

(2006-12-06 10:59:51)